析。
这种方法不仅开辟了数论研究的新途径，也有望为解析数论等经典难题提供新的工具。所以，理解模态空间的基本构建只是第一步。
为了实现更复杂系统的数学描述与应用，我们还需要深入探讨如何将广义模态公理体系模块化，形成更具操作性的数学工具。这将是我们下节课的主要内容。
对于这节课的内容，大家如果有什么疑问，或者有需要探讨的想法，现在可以开始提问了。”
张树文的话音落下，很快台下就有人举起了手。
“你说。”张树文指了指台下举手的人，他认识这个年轻人，是同事彼得·萨纳克的研究生，目前主要研究L函数。
他的老师也在，不过坐在后排。
“张教授，刚刚你在讲述模态路径的时候，用的那张图，嗯，就是那个红色曲线在三维空间里的动态图。
你在展示这张图的时候提了一句，似乎在一定条件下路径的对称性跟黎曼ζ函数的零点有一定关联。我想知道这个判断准确吗？”
张树文笑了，答道：“如果我能有一个准确的判断那就不会用似乎这种不太准确的用词了。我只能说相关研究还在一个比较初级的阶段。
两者之间是否有具体的联系还需要进一步严格证明。但我们已经观察并推导出一些有趣的对称性现象。
如果要将两者完全结合起来，还有三个方向的工作要做，首先需要更精确地定义模态密度函数的性质，毫无疑问，在这一块理论的提出者是偷了懒的。
大家今天来到这里，肯定都读过乔喻的论文。也就是今天我们主要引用的那篇文献。对于模态密度函数的对称性和局部性质乔喻都没有进行精确描述。
其次我们还需要证明模态路径对称性下积分形式与ζ函数解析延拓的关系。要知道Pm并不是随意的，它需要满足特定的几何约束。这一点乔喻的论文里也没有明确给出。
当然最重要的还是构建双向映射，这也
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